Правильно: зал Чайковского, в зале Чайковского.
Можно сказать: внести в зал - вынести из зала; но: вынести вперед.
Корректно: караоке-зал.
Правильно: Зал церковных соборов храма Христа Спасителя (см.: В. В. Лопатин, И. В. Нечаева, Л. К. Чельцова. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2007).
Нет, верно: зал для аэробики, для занятий аэробикой.